Сколько всего сайтсвопов?

Существует несколько научных статей, посвященных этому вопросу.

В статье "Combinatorial aspect of juggling" (автор Anthony May) и "Drops and Descents" (автор Ron Graham) приводится такая формула:

N(p,b)=(b+1)^p - b^p , где b - количество мячей, p - период.

N(p,b) - это количество всех возможных сайтсвопов с b мячами и периодом p. Проблема в том, что эта формула не учитывает перестановки. Для нас сайтсвоп 423,234 и 342 - это один и тот же сайтсвоп. В данной формуле они воспринимаются как три разных.

Заметим, что сайтсвоп можно перевернуть ровно столько раз, сколько составляет его период. Конечно, неизбежны повторы. Например, в сайтсвопе 4242 можно сделать четыре перестановки, но только две из них будут отличаться. С небольшой долей погрешности мы можем утверждать, что каждый сайтвоп из формулы выше повторяется "p" раз.

Таким образом, мы получаем нижнюю границу количества всех сайтсвопов.

N_min=( (b+1)^p - b^p ) / p

Это чуть меньше, чем реальное количество сайтсвопов, но оно очень близко к этому значению.

Пример: Количество мячей b=4, период p=4. Подставляем в формулу:

N_min=( (4+1)^4 - 4^4 )/4 = (625-256)/4 = 92,25

По нашей формуле получается 92 сайтсвопа с 4 мячами и периодом 4. На самом деле их 95.

Если вы хотите подробнее изучить этот аспект жонглерской математики, познакомьтесь с работами Anthony May «Combinatorial aspect of juggling» и Ron Graham «Drops and Descents».

Автор - Поляков Илья ©